Razão, proporção e regra de três: a pergunta que evita o erro de montar ao contrário

Regra de três é o conteúdo de matemática que mais aparece em prova — no ENEM, nos concursos de nível médio e, disfarçado, em problemas de porcentagem, escala e velocidade. Também é o que mais gera erro de montagem: a conta sai certa, mas o resultado está invertido porque a proporção foi tratada como direta quando era inversa.

O antídoto é uma pergunta única, feita antes de qualquer cálculo.

Razão e proporção, em duas frases

Razão é a comparação de duas grandezas por divisão: 3 aprovados para 12 candidatos é a razão 3/12, ou 1 para 4.

Proporção é a igualdade entre duas razões: 3/12 = 1/4. Na proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos — é isso que permite descobrir o termo desconhecido, e é toda a base da regra de três.

A pergunta que resolve a regra de três simples

Antes de montar, pergunte:

Se uma grandeza aumenta, a outra aumenta ou diminui?

Aumenta junto → proporção direta. Monta-se a proporção na mesma direção.
Diminui → proporção inversa. Inverte-se uma das colunas antes de multiplicar em cruz.

Exemplos que a prova repete:

Situação	Tipo	Por quê
Mais páginas, mais tempo para ler	direta	crescem juntas
Mais operários, menos dias de obra	inversa	mais gente, obra acaba antes
Mais velocidade, menos tempo de viagem	inversa	mais rápido, chega antes
Mais quilômetros, mais combustível	direta	—
Mais torneiras, menos tempo para encher	inversa	—

Cinco operários erguem um muro em 12 dias. Em quantos dias 3 operários erguem o mesmo muro?

Menos operários, mais dias: inversa. Monta-se 5 → 12 e 3 → x, inverte-se uma coluna: 5 × 12 = 3 × x → x = 20 dias.

Quem trata como direta encontra 7,2 dias — resposta que costuma estar entre as alternativas, justamente para quem errou a montagem.

Regra de três composta

Com três ou mais grandezas, o método é o mesmo, aplicado uma grandeza de cada vez, sempre em relação à grandeza que tem a incógnita:

Escreva as grandezas em colunas, com a incógnita na última.
Para cada coluna, compare com a coluna da incógnita: direta ou inversa?
Inverta as colunas inversas.
Iguale a razão da incógnita ao produto das demais razões.

Oito máquinas produzem 600 peças em 5 dias. Quantas peças 12 máquinas produzem em 10 dias?

Coluna da incógnita: peças. Máquinas → peças: mais máquinas, mais peças, direta. Dias → peças: mais dias, mais peças, direta.

600/x = (8/12) × (5/10) → 600/x = 40/120 → x = 1.800 peças.

A composta assusta pelo tamanho, mas é só uma sequência de comparações simples. O erro típico é comparar as grandezas entre si em vez de compará-las com a da incógnita.

Divisão proporcional

Repartir uma quantia em partes proporcionais a números dados: a chave é a soma dos índices.

Dividir R$ 1.200 entre três pessoas, em partes proporcionais a 2, 3 e 5.

Soma dos índices: 10. Cada "parte" vale 1.200 ÷ 10 = 120. Logo: 240, 360 e 600.

Se a divisão for inversamente proporcional, use os inversos dos índices (1/2, 1/3, 1/5), reduza ao mesmo denominador e proceda igual. A prova costuma cobrar a versão direta; a inversa aparece mais em nível superior.

Escala

Escala é uma razão entre o desenho e o real, nessa ordem e na mesma unidade. Escala 1:50.000 significa que 1 cm no mapa corresponde a 50.000 cm no terreno — 500 m.

Os dois erros clássicos:

Não converter a unidade. O resultado sai em centímetros; a resposta pede quilômetros. 1 km = 100.000 cm.
Inverter a razão. Escala 1:100 é redução (o desenho é menor). Escala 100:1 é ampliação (o desenho é maior — microscopia, por exemplo).

E o detalhe que o ENEM cobra: escala é razão linear. Se a escala é 1:100, uma área no desenho corresponde a uma área 100² = 10.000 vezes maior no real.

Velocidade média

É a razão entre a distância total e o tempo total — e a palavra que importa é total.

Um carro faz 120 km a 60 km/h e mais 120 km a 40 km/h. Qual a velocidade média?

Não é 50 km/h. Tempo do primeiro trecho: 2 h. Do segundo: 3 h. Total: 240 km em 5 h = 48 km/h.

A média das velocidades só coincide com a velocidade média quando os tempos são iguais — não quando as distâncias são. A banca escolhe o caso em que são as distâncias.

Conversões que se repetem

Em problema de regra de três, a unidade errada derruba a conta certa. Vale ter na cabeça:

1 h = 60 min = 3.600 s
1 km = 1.000 m = 100.000 cm
1 m³ = 1.000 L
km/h para m/s: dividir por 3,6. m/s para km/h: multiplicar por 3,6.

Um roteiro de trinta segundos

Antes de montar: se uma sobe, a outra sobe ou desce? Desce = inversa, inverte uma coluna.
Composta: compare cada grandeza com a da incógnita, uma de cada vez.
Divisão proporcional: some os índices, descubra o valor de uma parte.
Escala: desenho : real, mesma unidade; área vai ao quadrado.
Velocidade média: distância total ÷ tempo total, nunca a média das velocidades.
Confira a unidade pedida antes de marcar.

Vale notar o recorte: no ENEM a regra de três vem embrulhada em contexto — receita, mapa, consumo de energia — e o desafio é identificar as grandezas. Em concurso de nível médio, sobretudo Correios e Caixa, ela aparece mais direta, com a inversa e a composta como filtro.