Porcentagem e juros: o fator de multiplicação resolve quase tudo

A maior parte dos erros de porcentagem em concurso vem de um hábito: somar porcentagens. Aumento de 20% seguido de aumento de 30% não dá 50%. Descontar 10% e depois acrescentar 10% não volta ao valor original.

A ferramenta que resolve isso cabe numa linha.

O fator de multiplicação

Toda variação percentual vira um fator:

Aumento de 20% → multiplica por 1,20
Aumento de 7% → 1,07
Desconto de 15% → 0,85
Desconto de 40% → 0,60

A regra: aumento é 1 + i, desconto é 1 − i, com a taxa em decimal.

A partir daí, variações sucessivas são multiplicações encadeadas:

Um produto de R$ 200 sofre aumento de 20% e depois desconto de 10%. 200 × 1,20 × 0,90 = R$ 216

Não é 200 nem 220: os 10% incidem sobre o valor já aumentado. É por isso que a ordem não muda o resultado (multiplicação é comutativa), mas a soma ingênua erra sempre.

A variação total

Multiplicando os fatores, você obtém o fator acumulado, e dele lê a variação:

1,20 × 0,90 = 1,08 → aumento total de 8%

Dois descontos sucessivos de 10%: 0,90 × 0,90 = 0,81 → desconto total de 19%, não 20%.

Esse último caso é o mais cobrado da matéria.

Aumento e desconto iguais nunca voltam ao início

100 → aumenta 10% → 110 → desconta 10% → 99

Perde-se sempre, e a perda é o quadrado da taxa: 1,10 × 0,90 = 0,99, ou seja, −1%. Com 20%: 1,2 × 0,8 = 0,96, −4%.

Voltar ao valor original

Para desfazer uma variação, divida pelo fator:

Um produto custa R$ 264 após aumento de 10%. Qual era o preço? 264 ÷ 1,10 = R$ 240

O erro clássico é descontar 10% de 264 (que daria 237,60). Descontar não é o inverso de aumentar.

Ponto percentual × porcentagem

Distinção que decide questões de interpretação:

A taxa de aprovação subiu de 20% para 25%.

Subiu 5 pontos percentuais. Mas subiu 25% em termos relativos (5 ÷ 20 = 0,25).

Se o enunciado diz "aumentou 5%", a taxa foi para 21%. Se diz "aumentou 5 pontos percentuais", foi para 25%. São coisas diferentes, e a banca usa as duas.

Juros simples × compostos

Simples — os juros incidem sempre sobre o capital inicial:

M = C × (1 + i·n)

Compostos — os juros incidem sobre o montante acumulado:

M = C × (1 + i)ⁿ

Repare que composto é exatamente o fator de multiplicação aplicado n vezes. É a mesma ideia dos aumentos sucessivos.

Comparação que cai: para n = 1, os dois produzem o mesmo montante. Para n < 1 (períodos fracionários), o simples rende mais. Para n > 1, o composto rende mais — e a diferença cresce rápido.

R$ 1.000 a 10% ao mês, 3 meses: Simples: 1000 × (1 + 0,3) = R$ 1.300 Composto: 1000 × 1,1³ = 1000 × 1,331 = R$ 1.331

Taxas equivalentes e proporcionais

Proporcionais (regime simples): divide-se ou multiplica-se direto. 12% ao ano = 1% ao mês.

Equivalentes (regime composto): a conversão é por potência.

Taxa mensal de 2% → anual: (1,02)¹² − 1 ≈ 26,8% Não 24%.

A pegadinha mais comum: chamar de "taxa anual de 24% capitalizada mensalmente" (taxa nominal) o que na prática rende 26,8% (taxa efetiva). Nominal se divide pelo número de períodos para achar a taxa do período; efetiva já é o rendimento real.

Desconto comercial × racional

Desconto comercial (por fora) — calculado sobre o valor nominal (de face) do título:

D = N × i × n

Desconto racional (por dentro) — calculado sobre o valor atual:

D = A × i × n

O comercial é sempre maior que o racional para os mesmos dados — é a comparação que a questão pede.

Roteiro para a questão

Traduza toda variação em fator antes de qualquer conta.
Sucessivas? Multiplique os fatores. Nunca some as taxas.
Pediram o valor anterior? Divida.
Leia se é "porcentagem" ou "ponto percentual".
Identifique o regime: "juros sobre juros", "capitalização composta" → potência; "juros simples", "sobre o capital inicial" → multiplicação linear.

Um atalho útil para as contas de cabeça: 1,1² = 1,21; 1,1³ = 1,331; 1,05² = 1,1025; 1,02¹² ≈ 1,268. Essas quatro cobrem uma quantidade surpreendente de questões de juros compostos.