Análise combinatória: uma pergunta decide entre arranjo, combinação e permutação

Quem erra combinatória raramente erra a conta. Erra a escolha: usou arranjo onde era combinação, esqueceu a repetição, contou duas vezes o mesmo caso.

Existe uma pergunta que resolve a escolha na maioria das questões.

A pergunta: a ordem importa?

Se a ordem muda o resultado → arranjo. Presidente e vice: João presidente e Maria vice é diferente de Maria presidente e João vice.

A(n,p) = n! / (n − p)!

Se a ordem não muda o resultado → combinação. Comissão de dois membros: {João, Maria} é a mesma comissão que {Maria, João}.

C(n,p) = n! / [p! · (n − p)!]

Se você usa todos os elementos, apenas reorganizando → permutação. Anagramas de uma palavra, filas com todos os presentes.

P(n) = n!

Repare que combinação é o arranjo dividido por p! — exatamente para desfazer a contagem repetida das ordens que, ali, são a mesma coisa.

O princípio multiplicativo resolve mais do que as fórmulas

Antes de procurar fórmula, tente decompor em etapas independentes e multiplicar:

Uma senha tem 3 letras (26 possibilidades cada) seguidas de 2 dígitos (10 cada), com repetição permitida. 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 1.757.600

Nenhuma fórmula de arranjo se aplica aqui, porque há repetição. O princípio multiplicativo, sim.

Regra prática: "e" multiplica, "ou" soma. Escolher uma camisa e uma calça → multiplica. Escolher uma camisa ou uma calça → soma.

Permutação com repetição

Quando há elementos repetidos, divide-se pelo fatorial de cada repetição:

Anagramas de ARARA: 5 letras, com 3 "A" e 2 "R". 5! / (3! · 2!) = 120 / 12 = 10

Sem a divisão, você contaria como diferentes os anagramas que trocam um "A" por outro "A" — e eles são visualmente idênticos.

Permutação circular

Em círculo, não há primeira posição: rotações do mesmo arranjo são o mesmo arranjo.

PC(n) = (n − 1)!

Seis pessoas em torno de uma mesa redonda: 5! = 120, não 720.

Os casos com restrição

A técnica é sempre a mesma: trate a restrição primeiro.

"Devem ficar juntos" — amarre o bloco e trate como um elemento único, depois permute dentro do bloco.

Cinco pessoas em fila, com duas específicas juntas: Trata-se de 4 elementos (o bloco + 3 pessoas): 4! = 24 Dentro do bloco, as duas trocam entre si: 2! = 2 Total: 24 × 2 = 48

"Não podem ficar juntos" — conte o total e subtraia os casos em que ficam:

5! − 48 = 120 − 48 = 72

"Pelo menos um" — quase sempre é mais rápido calcular o complementar:

Total − (nenhum)

Essa inversão economiza muito trabalho e é a técnica mais útil da matéria.

Probabilidade: contagem dividida por contagem

Probabilidade em espaço equiprovável é simplesmente:

P = casos favoráveis / casos possíveis

Ou seja, dois problemas de contagem. Se você domina a contagem, a probabilidade sai de graça.

Eventos independentes (um não afeta o outro): P(A e B) = P(A) × P(B).

Dois dados, ambos saírem 6: 1/6 × 1/6 = 1/36

Eventos dependentes (sem reposição): a segunda probabilidade muda.

Duas cartas de um baralho de 52, ambas ases: 4/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221

União: P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B). O termo subtraído evita contar duas vezes a interseção — se os eventos são mutuamente exclusivos, ele é zero.

Complementar: P(não A) = 1 − P(A). Junto com "pelo menos um", é o par mais útil da matéria.

Probabilidade condicional

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Lê-se: probabilidade de A dado que B ocorreu. O que muda é o espaço amostral — ele encolhe para dentro de B.

Numa turma, 60% passaram e 40% dos aprovados fizeram simulados. P(fez simulado | passou) = 0,40

Atenção: o enunciado de prova costuma esconder o condicionamento em expressões como "sabendo que", "dado que", "entre os que".

Roteiro para a questão

Há repetição de elementos? Se sim, princípio multiplicativo ou permutação com repetição.
A ordem importa? Sim → arranjo. Não → combinação.
Usa todos os elementos? → permutação.
Há restrição? Trate primeiro; se for "pelo menos", faça pelo complementar.
É probabilidade? Conte favoráveis, conte possíveis, divida.

O teste mais confiável para ordem: escreva dois resultados concretos com os mesmos elementos em ordens diferentes e pergunte se são a mesma coisa. Se são, é combinação. Leva cinco segundos e evita o erro mais caro da matéria.