Questões de Matemática (ENADE)

Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo: ? escolha um dos fatores; por exemplo, 47; ? na 1.ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1.ª coluna e o fator escolhido, na 2.ª coluna; ? em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números da linha anterior, até encontrar, na 1.ª coluna, o menor número cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33; ? selecione os números da 1.ª coluna cuja soma seja igual a 33, conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33; ? adicione os números correspondentes da 2.ª coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551; ? tome como resultado da multiplicação o valor 1.551. Com base nessas informações, analise as asserções a seguir. Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.

Considere o espaço vetorial V = ( , < , >1) munido do seguinte produto interno: = x1x2 - y1x2 - x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) são vetores de . Considere T : V ? V o operador linear dado por . Com relação ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a opção correta.

No plano , considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de lado unitário. Nesse conjunto, pode-se definir uma métrica d da seguinte maneira: dados dois pontos distintos, A, B ? Q, d(A, B) é definida como o comprimento euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A, B) = 0, se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.

O espaço métrico Q, munido da métrica d,

Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das funções reais obtém-se, para |x| < 1, o desenvolvimento em série de potências da seguinte função: O coeficiente de x n na série de potências de ?', a derivada de primeira ordem da função ?, é igual a

Quando uma partícula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ? [a, b], sob a ação de um campo de força em , o trabalho realizado pelo campo ao longo de C é dado por

Se , em que f : é uma função contínua e , então = grad(g(|r|)), em que g é uma primitiva de f. Considerando essas informações, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo ao longo da hélice C dada por r(t) = (cos t, sen t, t), t ? [0, 2?], é

Observe a seguinte atividade de construções geométricas. ? Construir um triângulo ABC qualquer. ? Traçar a bissetriz do ângulo e, em seguida, a bissetriz do ângulo . ? Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes. ? Traçar a bissetriz do ângulo . O que você observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à mesma observação? O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de outras similares

Um domínio de integridade é um domínio principal quando todo ideal é principal, isto é, pode ser gerado por um único elemento. Com base nesse conceito, avalie as seguintes afirmações. I - O anel Z[x] - de polinômios sobre Z na variável x - é um domínio principal, em que Z é o anel dos inteiros. II - Se K é um corpo, K[x] - o anel de polinômios sobre K na variável x - é um domínio principal.

III - O anel dos inteiros gaussianos Z[i] é um domínio principal. É correto o que se afirma em

Considere o grupo G das raízes 6-ésimas da unidade, isto é, o grupo formado pelos números complexos z, tais que z 6 = 1. Com relação ao grupo G, assinale a opção correta.

As potencialidades pedagógicas da história no ensino de matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos. Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números. A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes. I - Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. II - Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. III - Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. Está correto o que se afirma em

Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região triangular PQR desenhada abaixo.

A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula: Em qual intervalo essa função é crescente?

Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x 3 ? 3x 2

• kx + m é múltiplo de Q(x) = x 2 ? 4?

Muitos fenômenos probabilísticos seguem uma lei de distribuição denominada Normal, na qual os valores mais frequentes se encontram próximos à média. A curva que representa essa distribuição tem a forma de um sino, é simétrica em torno da média ?, tem no eixo das abscissas uma assíntota horizontal e é determinada pela seguinte função de densidade: Levando em consideração que cada curva de distribuição Normal é determinada pela sua média ? e pelo seu desvio- padrão ?, Gauss desenvolveu uma forma de padronizá-las em uma única Normal, caracterizada por ter média O e desvio- padrão 1. Assim, a Normal Padrão é determinada pela função na qual cada um dos valores x da função de distribuição Normal N(? , ?)é convertido em uma nova variável adimensional, designada genericamente por z, a qual tem distribuição Normal N(0, 1 ). A conversão dessa variável se dá por meio da seguinte expressão: Sabe-se que a área sob o gráfico da função de densidade de probabilidade em determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo. Assim, considera-se que a área entre a curva Normal e a assíntota determinada pelo eixo das abscissas é igual a 1. De acordo com dados obtidos no portal do INEP/MEC relativos aos 11 303 estudantes de Licenciatura em Matemática que realizaram a prova do Enade em 2011, a média e o desvio-padrão do desempenho geral desses estudantes foram, respectivamente, iguais a 32,4 e 11,6 pontos. Considerando que a distribuição do desempenho desses alunos no ENADE 2011 pode ser aproximada pela distribuição Normal, assinale a alternativa cuja expressão fornece o percentual de estudantes com desempenho inferior a 20,8 pontos ou superior a 55,6 pontos.

O teorema fundamental do cálculo é uma poderosa ferramenta para a Matemática, pois é amplamente utilizado em suas diversas subáreas. Ao longo da história, diversas versões desse teorema foram demonstradas. Fazendo uso livremente dessas versões, considerando duas funções contínuas no intervalo fechado e limitado e definindo por

para todo , avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. Para todo , tem-se que PORQUE Se possuí derivada integrável, então Acerca dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Em uma festa infantil, um grupo de 7 crianças - Ana, Beatriz, Carlos, Davi, Eduardo, Fernanda e Gabriela - reuni u-se próximo a uma mesa para brincar de "esconde-esconde", um jogo no qual uma criança é separada dos demais, que procuram locais para se esconder, sem que a escolhida as veja, pois essa tentará encontrá-las após algum tempo estabelecido previamente. Assim, era necessário escolher qual delas seria aquela que iria procurar todas as outras. Para efetuar essa escolha, as crianças se dispuseram em um círculo na mesma ordem descrita anteriormente e, simultaneamente, mostraram um número de dedos das mãos. Os números de dedos mostrados foram somados, resultando em uma quantidade que vamos chamar de TOTAL. Ana começou a conta r de 1 até o TOTAL, e, a cada número dito, apontava para uma criança da seguinte forma: 1 - Ana, 2 - Beatriz, 3 - Carlos, 4 - Davi, e assim por diante. Quando chegasse ao número TOTAL, a criança correspondente a esse número seria aquela que iria procurar as demais. Se o número TOTAL é igual a 64, a criança designada para procura r as demais é

Para se criar um mapa-múndi, isto é, uma mapa da Terra, é preciso faze r uma projeção cartográfica, que é uma correspondência entre os pontos da Terra (em geral uma esfera) e os pontos do mapa (um plano) de modo que as distâncias sejam preservadas. Existem diversas projeções cartográficas da Terra destinadas à confecção de mapas-múndi, feitas a partir de um modelo esférico da Terra. Nesse contexto, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. Não existe uma projeção cartográfica perfeita de toda a Terra, isto é, uma isometria que associe a cada ponto de uma esfera um ponto no plano. PORQUE II. A curvatura gaussiana da esfera é positiva, enquanto a curvatura gaussiana do plano é zero. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

Considere uma parábola de foco F e reta diretriz d. Denote por P um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d. Representado por r a reta bissetriz do ângulo , avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A reta r é tangente à parábola no ponto P. II. Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, Q ? P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A partir da definição de currículo abordada pelo autor, avalie as afirmações a seguir. I. A construção do currículo constitui um processo de seleção cultural, o que pode colocar em desvantagem determinados grupos sociais e culturais. II. O sistema educativo confere ao currículo efetividade que envolve uma multiplicidade de relações, razão pela qual este deve ser considerado práxis e sua materialização corresponder à forma como foi idealizado. III. As teorias críticas reconhecem a existência de poderes diversos diluídos nas relações sociais, conferindo ao currículo a função de atuar em processos para a inclusão escolar. IV. É desafio da escola incluir no currículo experiências culturais diversificadas, que não reproduzam estruturas da vida social em suas assimetrias e desigualdades. É correto o que se afirma em

Assim como os sistemas de numeração, os números classificados como negativos, irracionais, racionais e complexos tiveram uma ordem de surgimento na linha do tempo. Esse conhecimento histórico é importante, pois, a partir dele, é possível compreender os obstáculos didáticos apresentados no processo de ensino-aprendizagem dos números. A respeito do tema, assinale a alternativa que contém a ordem cronológica da origem dos números, na escrita atual, do conjunto { i,?2, e, - 3, 1/2}, sendo e a constante de Euler e i o número imaginário.

Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta um valor possível para o total de macacos no problema de Bháskara II.

Os números complexos possuem diferentes representações, tais como: algébrica, geométrica e trigonométrica, conforme ilustra o quadro a seguir. Considerando as diferentes representações dos números complexos e o seu ensino, avalie as afirmações a seguir.

I. A forma algébrica dos números complexos é a única representação presente nos livros didáticos do ensino médio. II. Historicamente, os números complexos surgiram da tentativa de resolução de equações polinomiais do 2º grau com discriminante negativo. III. O ensino da forma trigonométrica dos números complexos facilita a compreensão do significado geométrico da operação de multiplicação de complexos: rotação de pontos (ou vetores) no plano. IV. A cada número real corresponde um número complexo z = ? (cos?+ isen?), com ? = 0° . É correto o que se afirma em

A Lei n.° 13.005, de 25 de junho de 2014, que aprova o PNE, prevê importantes dispositivos, tais como: Art. 5° A execução do PNE e o cumprimento de suas metas serão objeto de monitoramento contínuo e de avaliações periódicas. Art. 10 O plano plurianual, as diretrizes orçamentárias e os orçamentos anuais da União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios serão formulados de maneira a assegurar a consignação de dotações orçamentárias compatíveis com as diretrizes, metas e estratégias deste PNE e com os respectivos planos de educação, a fim de viabilizar sua plena execução. Art. 11 O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, coordenado pela União, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, constituirá fonte de informação para a avaliação da qualidade da educação básica e para a orientação das políticas públicas desse nível de ensino. Art. 13 O poder público deverá instituir, em lei específica, contados 2 (dois) anos da publicação desta Lei, o Sistema Nacional de Educação, responsável pela articulação entre os sistemas de ensino, em regime de colaboração, para efetivação das diretrizes, metas e estratégias do Plano Nacional de Educação. Considerando as informações acima, conclui-se que o PNE

Se V é um espaço vetorial com produto interno sobre o corpo dos números complexos, então, a cada operador linear T : V ? V, está associado o operador adjunto de T, denotado por T* : V ? V, que se relaciona com T por intermédio do produto interno definido em V. Usando esses dois operadores, é possível definir diversas classes de operadores lineares que possuem aplicações na Matemática e na Física, entre as quais se incluem: ? operadores autoadjuntos são aqueles tais que T* = T; ? operadores anti-autoadjuntos são aqueles tais que T* = -T; ? operadores unitários são aqueles tais que T* = T -1 . Considerando ? ? um autovalor complexo qualquer do operador linear T e V um espaço vetorial com produto interno, sobre o corpo , avalie as afirmações a seguir. I. O número complexo ? também é autovalor de T*. II. Se T é autoadjunto, então ? ? . III. Se T é anti-autoadjunto, então ? é um número imaginário puro, isto é, ? = bi, com b número real não nulo. IV. Se T é unitário, então ? = 1 ou ? = -1. É correto apenas o que se afirma em

Deseja-se pintar a superfície externa e lateral de um monumento em forma de um paraboloide, que pode ser descrita pela equação z = x 2

• y 2 , situada na região do espaço de coordenadas cartesianas ( x, y, z) dada pela condição z ? 9. Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada. A quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla

O cilindro reto sobre o círculo x 2

• y 2 = 1 admite parametrização ,em que e Para se encontrar a primeira forma fundamental dessa superfície regular, foram utilizadas as expressões a seguir. É correto o que se afirma em

Considere , uma sequência de números reais positivos tal que Nesse caso, é igual a

As políticas educacionais no Brasil e no mundo têm avaliado a qualidade da educação, ou mesmo das políticas públicas, por meio de indicadores quantitativos. A análise de um indicador não pode ser feita sem levar em consideração as características do meio em que ele está inserido. Por sua natureza, um indicador fornece uma visão parcial do que se pretende aferir. Essa parcialidade é inerente ao método, ao processo ou às escolhas para a constituição do indicador. De qualquer forma, indicadores educacionais como taxas de acesso, de repetência, de reprovações, de defasagem idade- série e de evasão são sinais que orientam uma avaliação diagnóstica no que diz respeito às suas implicações com a permanência e o sucesso dos estudantes nas escolas. Observe os gráficos abaixo, que contêm alguns indicadores do ensino médio brasileiro no período de 2001 a 2012.

Com base nos dados apresentados, avalie as afirmações a seguir. I. A evolução da taxa de abandono escolar no ensino médio brasileiro mostra a tendência de queda, sinalizando que não há mais necessidade de políticas públicas para corrigir esse problema. II. Ao contrário das demais taxas, a taxa de reprovação no ensino médio brasileiro sinaliza uma tendência de estabilidade, aproximando-se de 12%. III. A taxa de defasagem idade-série apresentou grande variação de ano para ano no período de 2001 a 2012. IV. Um diagnóstico feito a partir dos três gráficos aponta para uma situação favorável em termos de aprendizado dos estudantes brasileiros que concluem o ensino médio. É correto apenas o que se afirma em

O conjunto é formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da soma e da multiplicação são números inteiros. Com relação à estrutura algébrica desse conjunto com as operações descritas, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. O conjunto ,munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma um anel. II. O conjunto ,munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas

pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: "A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é

Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, com Se f(1) = 1, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de f(3) é igual a