Questões de Matemática (ENADE)

Em topologia dos espaços métricos, é comum o estudo de propriedades relativas a conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, conexos por caminhos, entre outras. Essas características permitem comparar espaços métricos e verificar se são topologicamente equivalentes. A respeito disso, avalie as afirmações a seguir. I. Se um espaço métrico M pode ser escrito como união de dois conjuntos A e B, disjuntos, abertos e fechados, então M não é conexo. II. Se M é um espaço métrico, então um conjunto K ? M é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. III. Se J = [0, 5[ é um intervalo com a métrica induzida de , então o intervalo [0, 1[ é aberto em J. É correto o que se afirma em

O Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. Utilizando o Teorema de Green, conclui-se que a integral de linha do campo vetorial, , definido por F( x, y) = (y, -x), ao longo do caminho fechado definido pelas curvas h(x) = In(x); y = 0 ; x = 2, é igual a

As questões suscitadas no texto ratificam a necessidade de novas posturas docentes, de modo a atender a diversidade humana presente na escola. Nesse sentido, no que diz respeito a seu fazer docente frente aos alunos, o professor deve I. desenvolver atividades que valorizem o conhecimento historicamente elaborado pela humanidade e aplicar avaliações criteriosas com o fim de aferir, em conceitos ou notas, o desempenho dos alunos. II. instigar ou compartilhar as informações e a busca pelo conhecimento de forma coletiva, por meio de relações respeitosas acerca dos diversos posicionamentos dos alunos, promovendo o acesso às inovações tecnológicas. III. planejar ações pedagógicas extraescolares, visando ao convívio com a diversidade; selecionar e organizar os grupos, a fim de evitar conflitos. IV. realizar práticas avaliativas que evidenciem as habilidades e competências dos alunos, instigando esforços individuais para que cada um possa melhorar o desempenho escolar. V. utilizar recursos didáticos diversificados, que busquem atender a necessidade de todos e de cada um dos alunos, valorizando o respeito individual e coletivo. É correto apenas o que se afirma em

As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de a grau s de um ponto ( x ,y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz M2x2 dada por pela matriz coluna M2x1 , sendo x a primeira linha e y a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição

do ponto (x, y) após a rotação. Nessa situação, qual a nova posição do ponto (3,- 1) após uma rotação de 150° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal?

Avalie as seguintes afirmações a respeito das estruturas algébricas. I. Se I é um ideal de , então , para algum II. O conjunto das classes de equivalência módulo , para n primo, munido das operações usuais de adição e multiplicação, é um corpo. III. O conjunto dos números complexos com parte real nula, munido da operação usual de adição, forma um grupo abeliano. IV. O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais, munido das operações usuais de adição e multiplicação, é um anel não comutativo com unidade. É correto o que se afirma em

Com aplicações em eletrostática e mecânica, o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas. Seu resultado pode ser expresso pela igualdade Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir. I. r é uma curva plana simples, fechada, diferenciável ou diferenciável por partes e A é a região delimitada por r.

II. F = (F1 , F2) é um campo vetorial de classe C 1 definido em um conjunto aberto do que contém a região A. III. é uma expressão que se anua para campos vetoriais conservativos. É correto o que se afirma em

Um professor de Matemática, após trabalhar pontos notáveis e áreas de triângulos com uma de suas turmas, propõe a seguinte atividade aos alunos: divida um triângulo escaleno , no qual os ângulos internos são inferiores a 90°, em três triângulos de mesma área. Avalie as seguintes propostas de solução feitas pelos estudantes. I. Os triângulos ABH, BCH e CAH, em que H é o ortocentro de ABC, têm a mesma área. II. Os triângulos ABI, BCI e CAI, em que I é o incentro de ABC, têm a mesma área. III. Os triângulos AMC, ANM e ABN em que Me N dividem o lado CB em três partes de mesma medida, têm a mesma área. É correto o que se afirma em

A integração de funções é um dos principais tópicos da Análise essencialmente teórica, enquanto as equações diferenciais possuem diversas aplicações dentro e fora da Matemática. Em ambos os casos, o estudo das sequências e séries de funções com relação a convergência, derivação e integração termo a termo, ocupa um papel essencial. Diante disso, analise as afirmações a seguir. É correto o que se afirma em

Um dos problemas mais importantes estudados pelo cálculo diferencial e integral diz respeito à maximização e minimização de funções. Um desses problemas está relacionado à função cúbica definida por f(x) = ax 3

• bx 2
• cx + d, em que a, b, c e d são constantes reais, com a ? 0. Acerca dessa cúbica, avalie as afirmações a seguir. I. A função f possui apenas um ponto de inflexão, independentemente dos valores de a, b, c e d. II. Se b 2

• 3 ac > 0, então f possuí um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local. III. Se f possuí um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, então a média aritmética das abscissas desses dois pontos extremos corresponde à abscissa do ponto de inflexão. É correto o que se afirma em

Considere que a função I(t) = t In(t) definida para t ? 1, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando In(3) ? 1, 1, o valor do montante acumulado no período 1 ? t ? 3 é igual a

Uma função diferenciável, f, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até x, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0, 0), (x,y) e ( x, 0), em que y = f (x). A equação diferencial que descreve essa situação é

Ao se trabalhar com funções de variáveis complexas a valores complexos é possível, por meio das equações de Cauchy- Riemann, utilizar algumas propriedades estudadas no cálculo diferencial para funções de duas variáveis reais a valores reais. Para isso, considere um subconjunto aberto, não vazio e conexo do plano complexo uma função definida por , para quaisquer , onde são funções reais de variáveis reais e D é um subconjunto aberto de . A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir. I. Se f é uma função analítica tal que , então f é uma função constante. II. Se f é uma função analítica e a sua conjugada também é analítica, então f é uma função constante. III. Se f é uma função analítica e a função módulo de , é constante, então f também é uma função constante.

A respeito do valor da integral em que n é um inteiro, z é uma variável complexa e , uma curva fechada no plano complexo, avalie as afirmações a seguir. I. É nulo para todo n ? 0 e qualquer curva fechada y, uma vez que é a derivada de . II. É nulo para todo n < 0, n ? -1, e qualquer curva fechada que não passe por ?. III. É nulo, se n = -1 e for a circunferência dada por IV. É igual a 2? i, se n = -1 e for uma curva fechada contida no semi-espaço do plano, Imz > 0, em que ? não pertença a esse semi-espaço. É correto apenas o que se afirma em

Considerando a elaboração do PPP, avalie as seguintes afirmações. I. O PPP constituí-se em processo participativo de decisões para instaurar uma forma de organização do trabalho pedagógico que desvele os conflitos e as contradições no interior da escola. II. A discussão do PPP exige uma reflexão acerca da concepção de educação e sua relação com a sociedade e a escola, o que implica refletir sobre o homem a ser formado. III. A construção do PPP requer o convencimento dos professores, da equipe escolar e dos funcionários para trabalharem em prol do plano estabelecido pela gestão educacional. É correto o que se afirma em

Os números perfeitos foram introduzidos na Grécia, antes de Cristo. Um número n é dito perfeito se ele for igual à soma dos seus divisores positivos e próprios, ou seja, dos divisores positivos menores que n. Assim, se 2 k

• 1 é primo, k > 1, então o inteiro positivo n = 2 k-1 (2 k
• 1. é um número perfeito. Com base nessas informações, avalie as afirmações a seguir. I. O número 2 2 x 4 2 x 127 é perfeito e tem 17 divisores próprios. II. O número 28 é um número perfeito. III. Ao se adicionar as potências 2 0 ,2 1 ,2 2 ,2 3 , ... até que a soma seja igual ao décimo primeiro número primo e, em seguida, multiplicar a soma obtida pelo último termo, encontra-se um número perfeito. É correto o que se afirma em

Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (Pa) e (Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as afirmações a seguir. I. A matriz M é singular. II. O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. III. É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado. IV. O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de M que tenham determinantes não nulos. É correto apenas o que se afirma em

No estudo de funções de variáveis reais, buscam-se informações sobre continuidade, diferenciabilidade, entre outras. Considere uma função de duas variáveis , definida por A respeito dessa função, avalie as afirmações a seguir. I. Ao longo das retas y = cx, o valor da função f é constante. II. A função f é descontínua em (0, 0). III. A função f satisfaz ,quaisquer que sejam , com . É correto o que se afirma em

Um problema muito comum em geometria é o das trajetórias ortogonais, o que equivale a dizer que, dada uma curva de uma família, ela intercepta uma curva da outra família de modo que suas tangentes são perpendiculares entre si, no ponto de interseção. Esse problema pode ser abordado, também, pelo cálculo diferencial e integral e, consequentemente, pelas equações diferenciais ordinárias. Com o auxílio dessas informações, conclui-se que, para c e k números reais não nulos, no plano de coordenadas cartesianas xOy, a família de trajetórias ortogonais à família de hipérboles xy = c é dada por

Os anéis quociente são frequentemente utilizados para se obter extensões de corpos. Se F é um corpo e P é um polinômio irredutível em F[X], então L= F[ X] /< P > é um corpo cujo polinômio minimal sobre F é P. Considerando essas informações, assinale a opção que representa um corpo cujo polinômio mínima! é indicado pelo gerador do ideal.

Sobre sequências de números reais, avalie as afirmações a seguir. I. Toda sequência de números reais limitada é convergente. II. Toda sequência de números reais convergente é monótona e limitada. III. O conjunto de todas as sequências de números racionais que possuem apenas um número finito de termos diferentes de zero é enumerável. É correto o que se afirma em

Um operador linear definido em um espaço vetorial de dimensão finita pode ser representado por uma matriz quadrada. Dado V, um espaço vetorial, e ? = { e 1 , e2 , e3, uma base para esse espaço, seja o operador linear T : V ? V definido por T(e1) = 2e1, T(e2) = e1 + e2 e T(e3) = e1 + e2 + e3 . Considerando esse operador linear e a matriz A a ele associada na base dada, avalie as afirmações a seguir. I. Tem-se que (2I- A)(I-A) 2 = 0, em que I é a matriz identidade. II. Tem-se que (2I- A)(I-A) = 0, em que I é a matriz identidade. III. O operador T é diagonalizável. É correto o que se afirma em

Nesse contexto, para construir uma prática pedagógica que promova transformações no sentido da igualdade de gênero a partir do respeito às diferenças, espera-se que a escola

Considere Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir. I. A curvatura da curva ? é constante. II. III. é finita. É correto o que se afirma em

A figura a seguir mostra um triângulo retângulo de vértices A, B e C com catetos medindo a e a + ar + ar 2

• ar 3
• ... , em que |r| < 1. Nessa situação, qual é a medida da hipotenusa BC?

Para calcular o limite ,os argumentos podem ser desenvolvidos usando as desigualdades válidas para todo real x > 0. A partir desses argumentos, conclui-se que L é igual a

Considere o conjunto O número de elementos de A que são múltiplos de 4 ou 6 é igual a

Considere uma função contínua e conforme ilustra o gráfico abaixo. Represente por: A a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva B a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva C a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva Sabendo-se que A = 5, E = 3 e C = 2, avalie as afirmações a seguir. É correto o que se afirma em

Considere o cubo de vértices A, B, C, D ,E ,F, G e H, ilustrado na figura abaixo, e os vetores b, c, d, e,f, g e h, todos com origem em A e extremidades respectivamente em B, C, D, E, F, G e H. Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que o vetor cujo produto escalar com f é igual a zero é o vetor

Considerando que um estudante esteja testando um software para calcular o valor da integral , avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. O resultado , apresentado pelo software, está correto. PORQUE II. A primitiva da função é a função e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, conclui-se que A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos têm um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear tem como solução