38 questões da prova Diversas 2014, com gabarito oficial conferido. As duas primeiras são gratuitas.
Os estimadores não viesados E1 = mX ? mY + Z e E2 = (m ? 12)X ? mY + 13Z, em que m é um parâmetro real, são utilizados para a obtenção da média ? de uma população normal com variância unitária. (X, Y, Z) é uma amostra aleatória extraída desta população, com reposição. Considerando o maior valor inteiro m tal que E1 é mais eficiente que E2, tem-se que a variância de E1 é igual a
Em um treinamento destinado aos recém-formados de uma faculdade é realizado um levantamento com relação às idades (em anos) de seus participantes e obteve-se a seguinte tabela: Sendo Me, Md, e Mo os valores da média aritmética (em anos por participante), da mediana e da moda, respectivamente, observa-se, com relação à tabela, que
Em uma grande empresa sabe-se que 20% dos funcionários não são filiados a nenhum sindicato, que 30% são filiados ao sindicato A e que os 50% restantes são filiados ao sindicato B. Seleciona-se ao acaso e com reposição uma amostra de 6 funcionários da empresa. A probabilidade dessa amostra conter 1 funcionário não filiado a nenhum sindicato, 2 filiados à A e 3 filiados à B é igual a
O histograma, abaixo, refere-se à distribuição dos salários dos funcionários lotados em um setor de um órgão público. No eixo das abscissas constam os intervalos de classe em R$ (todos fechados à esquerda e abertos à direita) e no eixo das ordenadas as respectivas densidades de frequências em (R$) -1 . Define-se densidade de frequência de um intervalo como sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.
Se o número de funcionários que tem um salário inferior a R$ 5.000,00 é igual a 56, então verifica-se que o número de funcionários que tem um salário igual ou superior a R$ 2.000,00 e inferior a R$ 8.000,00 é igual a
A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada por: Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade. Nessas condições, a esperança condicional de X, dado que Y é igual a 1/6, denotada por E (X|Y = 1/6), é igual a
O diâmetro de uma peça, em dm, é uma variável aleatória contínua X com função de distribuição acumulada dada por:
Pretende-se decidir, a um determinado nível de significância, se 5 amostras aleatórias independentes, formando 5 grupos, provêm de populações com médias iguais por meio do teste de Kruskal-Wallis. Com relação a este teste,
O objetivo de um estudo é testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo X, a um determinado nível de significância ?, correspondente a 3 grupos I, II e III, independentes, cada um contendo 15 observações obtidas aleatoriamente. Pelo quadro de análise de variância, observou-se os seguintes resultados com relação às respectivas observações sabendo-se que o valor da estatística F (F calculado) utilizado para a tomada de decisão é igual a 33,6. O valor do módulo de (X ? Y) é igual a
Seja X uma população {X1, X2, X3, ... , X100 } formada por 100 números estritamente positivos com um desvio padrão igual a 4 e com a soma dos quadrados de todos estes 100 números igual a 41.600. Seja Y uma outra população { Y1, Y2, Y3, ... , Y50 } formada por 50 números também estritamente positivos com uma média igual a da população anterior e com a soma dos quadrados de todos estes 50 números igual a 20.200. Os coeficientes de variação de X e de Y
As variáveis aleatórias X e Y representam a altura (em centímetros) dos habitantes de uma cidade e o peso (em quilos) dos habitantes de uma outra cidade, respectivamente. Considera-se que as correspondentes populações de X e Y são normalmente distribuídas e de tamanho infinito. Uma amostra aleatória de tamanho 100 da população de X forneceu um intervalo de confiança, ao nível de confiança de 88%, para a média (?x), em cm, igual a [156,1 ; 163,9], sabendo-se que a variância populacional de X é igual a 625 cm². Uma amostra aleatória de tamanho 400 da população de Y forneceu um intervalo de confiança, ao nível de confiança de 88%, para a média (?y), em kg, igual a [68,83 ; 71,17]. A variância populacional de Y, em kg² , é igual a
Atenção: Para responder às questões de números 36 e 37, considere a informação abaixo. A equação da reta y = a + bx foi obtida pelo método dos mínimos quadrados, com base em 10 observações (xi , yi ), i = 1, 2, 3, ...,10, em que foi dotado o modelo linear y i = ? + ?xi + ?i . As estimativas de ? e ? são respectivamente a e b, i corresponde a i-ésima observação e ?i é o erro aleatório com as correspondentes hipóteses do modelo linear simples. Sabe-se que a reta determinada pela equação acima passa pelos pontos ( 20 , 40 ) e ( 100 , 20 ). A estimativa da variância ?² do modelo teórico é igual a
O seguinte modelo foi ajustado a uma série temporal de vendas de um produto: são os parâmetros do modelo e at é o ruído branco de média zero e variância 1. Considere as afirmações: Tal modelo é Está correto o que consta APENAS em
O Departamento de RH de um órgão público colheu informações sobre a variável X, que representa o tempo para a realização de determinada tarefa. Para a realização da pesquisa foi colhida uma amostra aleatória, sem reposição, de tamanho n da população de 100 funcionários que realizam a tarefa, observando-se os valores de X obtidos. Sejam xi = tempo que o funcionário i leva para realizar a tarefa, i = 1,2,3,...,n, e Sabendo-se que a variância de é igual 1/11 da variância de X, o valor de n é igual a
De uma população com 1.000 famílias, tomou-se uma amostra aleatória simples de 50 famílias, na qual foram observadas as seguintes variáveis:
Suponha que uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (a , b), em que nem a nem b são conhecidos. Utilizando o método dos momentos, com base em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 1 e 4 para a e b, respectivamente. O valor do momento de ordem 2, centrado na origem, correspondente aos elementos da amostra é
Atenção: Para responder às questões de números 36 e 37, considere a informação abaixo. A equação da reta y = a + bx foi obtida pelo método dos mínimos quadrados, com base em 10 observações (xi , yi ), i = 1, 2, 3, ...,10, em que foi dotado o modelo linear y i = ? + ?xi + ?i . As estimativas de ? e ? são respectivamente a e b, i
corresponde a i-ésima observação e ?i é o erro aleatório com as correspondentes hipóteses do modelo linear simples. Sabe-se que a reta determinada pela equação acima passa pelos pontos ( 20 , 40 ) e ( 100 , 20 ). O coeficiente de explicação (R²), definido como sendo o resultado da divisão da variação explicada pela variação total é, em %, igual a
Suponha que o número de processos trabalhistas que chegam, por dia, a um determinado tribunal regional do trabalho seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média igual a ?. Sabe-se que a probabilidade de chegarem 2 processos por dia é igual a oito vezes a probabilidade de não chegar nenhum. Nessas condições, a probabilidade de, em um determinado dia, chegarem pelo menos 2 processos é igual a
A função geratriz de momentos da variável aleatória X tem a forma: M(t) = (0,2 + 0,8e t ) 10 . Nessas condições, a média da variável aleatória Y = 0,5X + 2 é igual a
Sabe-se que a variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por: Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade. Sejam: ? e ?, respectivamente, a média e a mediana de X. Nessas condições, ? + 2? é igual a
A tabela de frequências absolutas, abaixo, corresponde à distribuição dos salários dos empregados em uma empresa, em que todos os intervalos de classe têm a mesma amplitude. O valor da mediana dos salários (obtido por interpolação linear) é igual a R$ 4.100,00 e pertence ao intervalo [c , d) em que c = R$ 3.500,00. Calculando o valor da média aritmética destes salários, considerando que todos os valores incluídos em um certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, verifica-se que este valor pertence ao intervalo (em R$)
Em um estudo é considerada a distribuição binomial em que x é o número de ocorrências de um acontecimento em m provas, sabendo-se que na i-ésima experiência de uma série de n, comportando m provas cada uma, o acontecimento ocorreu xi vezes. Deseja-se encontrar, pelo método da máxima verossimilhança, a estimativa pontual do parâmetro p com a qual um acontecimento A ocorre em cada prova, sabendo-se que em 80 experiências de 5 provas cada uma
forneceram a distribuição abaixo. O valor da estimativa de p é então, em %, igual a
Um noticiário divulga que o salário médio de uma determinada carreira profissional é de R$ 4.150,00. Como há uma suspeita de que o salário médio (? ) desta carreira é superior a R$ 4.150,00, extrai-se uma amostra aleatória da população destes salários de tamanho igual a 256, detectando uma média igual a R$ 4.180,00. Foram formuladas as hipóteses H0: ? = R$ 4.150,00 (hipótese nula) e H1: ? > R$ 4.150,00 (hipótese alternativa), considerando que a população é normalmente distribuída e de tamanho infinito. Considere na curva normal padrão (Z ) as probabilidades P(Z > 2,33) = 0,01 e P(Z > 1,64) = 0,05. Se o desvio padrão populacional é igual a R$ 225,00, então, com base na amostra, H0
Um experimento será repetido até que um particular evento A ocorra pela segunda vez. Sabe-se que: I.Todas as repetições do experimento são independentes. II.A probabilidade de A ocorrer em cada repetição é igual a p. III.A variável X que representa o número de repetições do experimento até que A ocorra pela segunda vez tem média 3. Nessas condições, a probabilidade condicional denotada por P(X = 2|X ? 3) é igual a
Sobre análise multivariada, considere: I.Na análise fatorial nenhuma variável é definida como dependente ou independente. II.Na análise de agrupamentos deve haver bastante homogeneidade interna (dentro do agrupamento) em cada um dos agrupamentos resultantes. III.Na análise de correlação canônica o princípio subjacente é desenvolver uma combinação linear de cada conjunto de variáveis dependentes e independentes para minimizar a correlação entre esses dois conjuntos. IV.O escalamento multidimensional é uma técnica multivariada apropriada para representar n elementos em um espaço dimensional menor que o original, levando em consideração a similaridade que os elementos têm entre si. Está correto o que consta APENAS em
Atenção: Para resolver às questões de números 58 a 60, use, dentre as informações abaixo, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,44) = 0,67; P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 2,05) = 0,98. Uma máquina enche pacotes de um determinado cereal com um peso que pode ser considerado como uma variável aleatória X com média 250 g e desvio padrão de 12 g. Uma amostra aleatória, com reposição, de n pacotes é sorteada da produção da máquina. Seja a média amostral dessa amostra. O valor de n para que não difira da sua média por mais do que 4,1 g, com probabilidade de 96%, é igual a
Uma empresa possui em estoque 2.501 tubos verificando-se que a população formada pelas medidas de seus comprimentos (em metros) apresenta uma distribuição normal com média ? e um desvio padrão populacional igual a 2,5 m. Uma amostra aleatória de tamanho 100 é extraída desta população, sem reposição, apurando-se uma média amostral igual a 10 m. Considerando na curva normal padrão ( Z) as probabilidades P(Z > 1,96) = 0,025 e P(Z > 1,64) = 0,05, obtém-se que o intervalo de confiança para ?, ao nível de confiança de 95%, é
Com base em um levantamento histórico e utilizando o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a equação para estimar a probabilidade (p ) de ser realizada a venda de determinado equipamento em função do tempo (t ), em minutos, em que as propriedades do equipamento são divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) = ?0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento forem divulgadas por um tempo de 15 minutos na mídia, então a probabilidade do equipamento ser vendido é, em %, de Observação: ln é o logarítmo neperiano tal que ln(e) = 1.
Cada um dos processos trabalhistas enviados a um órgão público para receber um parecer, são encaminhados para um dos seguintes juízes: A, B, C e D. Sabe-se que no mês de abril de 2014, I.Os juízes A e B receberam, cada um, 30% dos processos que chegaram e os juízes C e D receberam, cada um, 20%. II.Dos processos recebidos por A, B, C e D, respectivamente, 30%, 15%, 20% e 10%, receberam parecer no mesmo mês em que foram recebidos, ou seja, abril de 2014. Um processo foi escolhido ao acaso dentre os recebidos em abril de 2014 e sabe-se que ele recebeu um parecer neste mesmo mês. A probabilidade de ele ter sido analisado pelo juiz A ou B é igual a
Atenção: Para responder às questões de números 46 e 47, considere as informações abaixo. Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade dada por: Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade. Selecionando-se ao acaso e com reposição 5 funcionários desse órgão, a probabilidade de que, exatamente, 3 deles levem mais do que 4 dias para realizar a tarefa é igual a
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que: I.X tem distribuição exponencial com variância igual a ?². II.Y tem distribuição uniforme contínua no intervalo [?k, 2k], onde k é um número real positivo. III.P(Y > 2,2) = 0,3. IV.A variância de Y é igual à média de X. Nessas condições, P(X < 6) é igual a
Atenção: Para resolver às questões de números 58 a 60, use, dentre as informações abaixo, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,44) = 0,67; P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 2,05) = 0,98. Seja uma variável aleatória normal bivariada com vetor de médias e matriz de covariâncias
Nestas condições, a probabilidade expressa por P(5 < U < 11), sendo que U é a variável aleatória definida por U = aW com a = [1 , ?2], é igual a a = [1 , ?2], é igual a
Em uma determinada carreira profissional composta por 400 trabalhadores, verifica-se que a média aritmética das alturas de todos os trabalhadores é igual a 170 cm. Sabe-se que a média aritmética das alturas dos 250 trabalhadores do sexo masculino é igual à média aritmética das alturas dos 150 trabalhadores do sexo feminino. Os desvios padrões das alturas dos trabalhadores do sexo masculino e dos trabalhadores do sexo feminino são iguais a 12 cm e 20 cm, respectivamente. A variância (em cm2) das alturas de todos os trabalhadores desta carreira profissional é igual a
A média de uma variável aleatória contínua X, em que se desconhece sua distribuição, é igual a 10,4. Pelo teorema de Tchebichev obteve-se um intervalo igual a (7,4 ; 13,4) em que a probabilidade mínima de X pertencer a este intervalo é igual a 84%. O valor da variância (? 2 ) da variável X é tal que
Os diâmetros (em milímetros) de determinado tipo de arruela produzidos por uma grande fábrica formam uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Como a variância populacional é desconhecida, deseja-se obter um intervalo de confiança, ao nível de confiança de 95%, com base nos resultados de uma amostra de tamanho 9. A média amostral apresentou um valor igual a 5 mm com uma variância igual a 3,24 mm2. Considerando t0,025o quantil da distribuição t de Student para teste unicaudal tal que a probabilidade P(t > t0,025) = 0,025, com n graus de liberdade, obteve-se que a amplitude deste
intervalo, em mm, é igual a
Suponha que a quantidade consumida (Y ) de determinado produto por uma família depende do preço do produto (X2) e da renda da família (X3). Consultando, aleatoriamente, 10 famílias e considerando Yi como sendo o número de unidades consumidas do produto pela família i (i = 1,2, 3, ... ,10), X2i como sendo o preço unitário (em reais) pago pela família i e X3i como sendo a renda anual (em 1.000 reais) da família i, adotou-se o seguinte modelo linear Yi = ?1 + ?2X2i + ?3X2i + ?i para prever Y, em que ?i é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear múltipla. Utilizando o método dos mínimos quadrados, obteve-se as estimativas dos parâmetros desconhecidos ?1 , ?2 e ?3 , com base nas informações apresentadas pelas 10 famílias. Pelo quadro de análise de variância verifica-se que a variação residual corresponde a 17,5% da variação total. Então, o valor da estatística F (F calculado) utilizado para verificar a existência da regressão, a um determinado nível de significância, é igual a
De um lote com 5 peças defeituosas e 15 boas, seleciona-se ao acaso e sem reposição uma amostra de 3 peças. A probabilidade de que essa amostra tenha mais do que uma peça defeituosa é
Atenção: Para responder às questões de números 46 e 47, considere as informações abaixo. Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade dada por:
Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade. A probabilidade de um funcionário desse órgão levar entre 6 e 8 dias para analisar o processo é igual a
Atenção: Para resolver às questões de números 58 a 60, use, dentre as informações abaixo, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,44) = 0,67; P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 2,05) = 0,98. A renda média de uma comunidade pode ser considerada como sendo uma variável aleatória com distribuição normal com média ? reais e desvio padrão de R$ 400,00. Se a porcentagem da população que tem renda superior a R$ 2.000,00 é de 67%, o valor de ?, em reais, é