40 questões da prova Diversas 2014, com gabarito oficial conferido. As duas primeiras são gratuitas.
O Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. Utilizando o Teorema de Green, conclui-se que a integral de linha do campo vetorial, , definido por F( x, y) = (y, -x), ao longo do caminho fechado definido pelas curvas h(x) = In(x); y = 0 ; x = 2, é igual a
Muitos fenômenos probabilísticos seguem uma lei de distribuição denominada Normal, na qual os valores mais frequentes se encontram próximos à média. A curva que representa essa distribuição tem a forma de um sino, é simétrica em torno da média ?, tem no eixo das abscissas uma assíntota horizontal e é determinada pela seguinte função de densidade: Levando em consideração que cada curva de distribuição Normal é determinada pela sua média ? e pelo seu desvio- padrão ?, Gauss desenvolveu uma forma de padronizá-las em uma única Normal, caracterizada por ter média O e desvio- padrão 1. Assim, a Normal Padrão é determinada pela função na qual cada um dos valores x da função de distribuição Normal N(? , ?)é convertido em uma nova variável adimensional, designada genericamente por z, a qual tem distribuição Normal N(0, 1 ). A conversão dessa variável se dá por meio da seguinte expressão: Sabe-se que a área sob o gráfico da função de densidade de probabilidade em determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo. Assim, considera-se que a área entre a curva Normal e a assíntota determinada pelo eixo das abscissas é igual a 1. De acordo com dados obtidos no portal do INEP/MEC relativos aos 11 303 estudantes de Licenciatura em Matemática que realizaram a prova do Enade em 2011, a média e o desvio-padrão do desempenho geral desses estudantes foram, respectivamente, iguais a 32,4 e 11,6 pontos. Considerando que a distribuição do desempenho desses alunos no ENADE 2011 pode ser aproximada pela distribuição Normal, assinale a alternativa cuja expressão fornece o percentual de estudantes com desempenho inferior a 20,8 pontos ou superior a 55,6 pontos.
O teorema fundamental do cálculo é uma poderosa ferramenta para a Matemática, pois é amplamente utilizado em suas diversas subáreas. Ao longo da história, diversas versões desse teorema foram demonstradas. Fazendo uso livremente dessas versões, considerando duas funções contínuas no intervalo fechado e limitado e definindo por
para todo , avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. Para todo , tem-se que PORQUE Se possuí derivada integrável, então Acerca dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Para se criar um mapa-múndi, isto é, uma mapa da Terra, é preciso faze r uma projeção cartográfica, que é uma correspondência entre os pontos da Terra (em geral uma esfera) e os pontos do mapa (um plano) de modo que as distâncias sejam preservadas. Existem diversas projeções cartográficas da Terra destinadas à confecção de mapas-múndi, feitas a partir de um modelo esférico da Terra. Nesse contexto, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. Não existe uma projeção cartográfica perfeita de toda a Terra, isto é, uma isometria que associe a cada ponto de uma esfera um ponto no plano. PORQUE II. A curvatura gaussiana da esfera é positiva, enquanto a curvatura gaussiana do plano é zero. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
Os números complexos possuem diferentes representações, tais como: algébrica, geométrica e trigonométrica, conforme ilustra o quadro a seguir. Considerando as diferentes representações dos números complexos e o seu ensino, avalie as afirmações a seguir.
I. A forma algébrica dos números complexos é a única representação presente nos livros didáticos do ensino médio. II. Historicamente, os números complexos surgiram da tentativa de resolução de equações polinomiais do 2º grau com discriminante negativo. III. O ensino da forma trigonométrica dos números complexos facilita a compreensão do significado geométrico da operação de multiplicação de complexos: rotação de pontos (ou vetores) no plano. IV. A cada número real corresponde um número complexo z = ? (cos?+ isen?), com ? = 0° . É correto o que se afirma em
Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta um valor possível para o total de macacos no problema de Bháskara II.
Em uma festa infantil, um grupo de 7 crianças - Ana, Beatriz, Carlos, Davi, Eduardo, Fernanda e Gabriela - reuni u-se próximo a uma mesa para brincar de "esconde-esconde", um jogo no qual uma criança é separada dos demais, que procuram locais para se esconder, sem que a escolhida as veja, pois essa tentará encontrá-las após algum tempo estabelecido previamente. Assim, era necessário escolher qual delas seria aquela que iria procurar todas as outras. Para efetuar essa escolha, as crianças se dispuseram em um círculo na mesma ordem descrita anteriormente e, simultaneamente, mostraram um número de dedos das mãos. Os números de dedos mostrados foram somados, resultando em uma quantidade que vamos chamar de TOTAL. Ana começou a conta r de 1 até o TOTAL, e, a cada número dito, apontava para uma criança da seguinte forma: 1 - Ana, 2 - Beatriz, 3 - Carlos, 4 - Davi, e assim por diante. Quando chegasse ao número TOTAL, a criança correspondente a esse número seria aquela que iria procurar as demais. Se o número TOTAL é igual a 64, a criança designada para procura r as demais é
Considere uma parábola de foco F e reta diretriz d. Denote por P um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d. Representado por r a reta bissetriz do ângulo , avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A reta r é tangente à parábola no ponto P. II. Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, Q ? P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A partir da definição de currículo abordada pelo autor, avalie as afirmações a seguir. I. A construção do currículo constitui um processo de seleção cultural, o que pode colocar em desvantagem determinados grupos sociais e culturais. II. O sistema educativo confere ao currículo efetividade que envolve uma multiplicidade de relações, razão pela qual este deve ser considerado práxis e sua materialização corresponder à forma como foi idealizado. III. As teorias críticas reconhecem a existência de poderes diversos diluídos nas relações sociais, conferindo ao currículo a função de atuar em processos para a inclusão escolar. IV. É desafio da escola incluir no currículo experiências culturais diversificadas, que não reproduzam estruturas da vida social em suas assimetrias e desigualdades. É correto o que se afirma em
Assim como os sistemas de numeração, os números classificados como negativos, irracionais, racionais e complexos tiveram uma ordem de surgimento na linha do tempo. Esse conhecimento histórico é importante, pois, a partir dele, é possível compreender os obstáculos didáticos apresentados no processo de ensino-aprendizagem dos números. A respeito do tema, assinale a alternativa que contém a ordem cronológica da origem dos números, na escrita atual, do conjunto { i,?2, e, - 3, 1/2}, sendo e a constante de Euler e i o número imaginário.
A Lei n.° 13.005, de 25 de junho de 2014, que aprova o PNE, prevê importantes dispositivos, tais como: Art. 5° A execução do PNE e o cumprimento de suas metas serão objeto de monitoramento contínuo e de avaliações periódicas. Art. 10 O plano plurianual, as diretrizes orçamentárias e os orçamentos anuais da União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios serão formulados de maneira a assegurar a consignação de dotações orçamentárias compatíveis com as diretrizes, metas e estratégias deste PNE e com os respectivos planos de educação, a fim de viabilizar sua plena execução. Art. 11 O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, coordenado pela União, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, constituirá fonte de informação para a avaliação da qualidade da educação básica e para a orientação das políticas públicas desse nível de ensino. Art. 13 O poder público deverá instituir, em lei específica, contados 2 (dois) anos da publicação desta Lei, o Sistema Nacional de Educação, responsável pela articulação entre os sistemas de ensino, em regime de colaboração, para efetivação das diretrizes, metas e estratégias do Plano Nacional de Educação. Considerando as informações acima, conclui-se que o PNE
Considere , uma sequência de números reais positivos tal que Nesse caso, é igual a
O cilindro reto sobre o círculo x 2
Se V é um espaço vetorial com produto interno sobre o corpo dos números complexos, então, a cada operador linear T : V ? V, está associado o operador adjunto de T, denotado por T* : V ? V, que se relaciona com T por intermédio do produto interno definido em V. Usando esses dois operadores, é possível definir diversas classes de operadores lineares que possuem aplicações na Matemática e na Física, entre as quais se incluem: ? operadores autoadjuntos são aqueles tais que T* = T; ? operadores anti-autoadjuntos são aqueles tais que T* = -T; ? operadores unitários são aqueles tais que T* = T -1 . Considerando ? ? um autovalor complexo qualquer do operador linear T e V um espaço vetorial com produto interno, sobre o corpo , avalie as afirmações a seguir. I. O número complexo ? também é autovalor de T*. II. Se T é autoadjunto, então ? ? . III. Se T é anti-autoadjunto, então ? é um número imaginário puro, isto é, ? = bi, com b número real não nulo. IV. Se T é unitário, então ? = 1 ou ? = -1. É correto apenas o que se afirma em
Deseja-se pintar a superfície externa e lateral de um monumento em forma de um paraboloide, que pode ser descrita pela equação z = x 2
Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, com Se f(1) = 1, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de f(3) é igual a
Com aplicações em eletrostática e mecânica, o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas. Seu resultado pode ser expresso pela igualdade Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir. I. r é uma curva plana simples, fechada, diferenciável ou diferenciável por partes e A é a região delimitada por r.
II. F = (F1 , F2) é um campo vetorial de classe C 1 definido em um conjunto aberto do que contém a região A. III. é uma expressão que se anua para campos vetoriais conservativos. É correto o que se afirma em
Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas
pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: "A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é
As políticas educacionais no Brasil e no mundo têm avaliado a qualidade da educação, ou mesmo das políticas públicas, por meio de indicadores quantitativos. A análise de um indicador não pode ser feita sem levar em consideração as características do meio em que ele está inserido. Por sua natureza, um indicador fornece uma visão parcial do que se pretende aferir. Essa parcialidade é inerente ao método, ao processo ou às escolhas para a constituição do indicador. De qualquer forma, indicadores educacionais como taxas de acesso, de repetência, de reprovações, de defasagem idade- série e de evasão são sinais que orientam uma avaliação diagnóstica no que diz respeito às suas implicações com a permanência e o sucesso dos estudantes nas escolas. Observe os gráficos abaixo, que contêm alguns indicadores do ensino médio brasileiro no período de 2001 a 2012.
Com base nos dados apresentados, avalie as afirmações a seguir. I. A evolução da taxa de abandono escolar no ensino médio brasileiro mostra a tendência de queda, sinalizando que não há mais necessidade de políticas públicas para corrigir esse problema. II. Ao contrário das demais taxas, a taxa de reprovação no ensino médio brasileiro sinaliza uma tendência de estabilidade, aproximando-se de 12%. III. A taxa de defasagem idade-série apresentou grande variação de ano para ano no período de 2001 a 2012. IV. Um diagnóstico feito a partir dos três gráficos aponta para uma situação favorável em termos de aprendizado dos estudantes brasileiros que concluem o ensino médio. É correto apenas o que se afirma em
O conjunto é formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da soma e da multiplicação são números inteiros. Com relação à estrutura algébrica desse conjunto com as operações descritas, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. O conjunto ,munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma um anel. II. O conjunto ,munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Uma tendência no ensino de geometria é adotar metodologias que partem de uma situação problema, oportunizando o envolvimento do aluno na manipulação de material concreto, construções, experimentações e conjecturas para a construção do seu conhecimento. Nessa perspectiva, um professor propõe aos seus alunos que determinem a quantidade de papel necessário para confeccionar balões para enfeitar a festa junina da escola. Deseja-se fazer 10 balões de diversas cores. O professor informa que devem ser comprados 20% a maís de papel de cada cor, devido a recortes, colagem e perdas eventuais. Além disso, os balões devem ter a forma de um octaedro regular cuja planificação está representada na figura abaixo. Os alunos observam, pela planificação do octaedro, que ele é um sólido com 8 faces semelhantes, sendo todas elas triângulos equiláteros. Em certa fase do trabalho, eles concluem que, para obter a resposta do problema, precisam saber que altura o professor quer que os balões tenham. Nesse momento, o professor informa que deseja um balão cuja característica seja ter todas as faces com 20 centímetros de altura. Com base nessas informações, a quantidade total de papel necessária para confeccionar os 10 balões solicitados, em metros quadrados, é igual a
Um pesquisador necessita da solução de uma equação diferencial ordinária para implementar em seu código computacional. Resolvendo por meio de série de potências, ele encontra a seguinte solução: O pesquisador necessita que a solução seja computada com uma precisão de 0,01 no intervalo -2 < x < 2. Para isso, ele escreve os primeiros 200 termos da série no código. No entanto, ao rodar o programa nesse intervalo, ele percebe um comportamento anômalo. Considerando que o pesquisador não tenha cometido erro ao implementar a série, avalie as afirmações a seguir. I. A série não pode representa r uma solução no intervalo - 2 < x < 2, pois diverge para |x| > 1. II. São necessários mais termos do que os que o pesquisador escreveu para atingir a precisão requerida no intervalo -1 < x < 1. III. A precisão 0,01 não pode ser atingida por essa série de potências. É correto o que se afirma em
Com base nos textos apresentados, conclui-se que a gestão democrática da educação I. implica colocar as instituições a serviço da formação qualificada dos estudantes, tendo a participação como prática cotidiana de todos os envolvidos. II. propicia a criação de uma cultura institucional crítico-reflexiva, cujos envolvidos tenham discernimento em relação aos conteúdos que necessitam ou não para tomarem decisões sempre coletivas. III. pressupõe a existência de líderes capazes de orientar pessoas para o desenvolvimento de ações que visem ao cumprimento de objetivos definidos por eles. IV. efetiva-se pelo processo de construção coletiva do projeto pedagógico e de seu acompanhamento e avaliação. É correto apenas o que se afirma em
Em topologia dos espaços métricos, é comum o estudo de propriedades relativas a conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, conexos por caminhos, entre outras. Essas características permitem comparar espaços métricos e verificar se são topologicamente equivalentes. A respeito disso, avalie as afirmações a seguir. I. Se um espaço métrico M pode ser escrito como união de dois conjuntos A e B, disjuntos, abertos e fechados, então M não é conexo. II. Se M é um espaço métrico, então um conjunto K ? M é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. III. Se J = [0, 5[ é um intervalo com a métrica induzida de , então o intervalo [0, 1[ é aberto em J. É correto o que se afirma em
As questões suscitadas no texto ratificam a necessidade de novas posturas docentes, de modo a atender a diversidade humana presente na escola. Nesse sentido, no que diz respeito a seu fazer docente frente aos alunos, o professor deve I. desenvolver atividades que valorizem o conhecimento historicamente elaborado pela humanidade e aplicar avaliações criteriosas com o fim de aferir, em conceitos ou notas, o desempenho dos alunos. II. instigar ou compartilhar as informações e a busca pelo conhecimento de forma coletiva, por meio de relações respeitosas acerca dos diversos posicionamentos dos alunos, promovendo o acesso às inovações tecnológicas. III. planejar ações pedagógicas extraescolares, visando ao convívio com a diversidade; selecionar e organizar os grupos, a fim de evitar conflitos. IV. realizar práticas avaliativas que evidenciem as habilidades e competências dos alunos, instigando esforços individuais para que cada um possa melhorar o desempenho escolar. V. utilizar recursos didáticos diversificados, que busquem atender a necessidade de todos e de cada um dos alunos, valorizando o respeito individual e coletivo. É correto apenas o que se afirma em
As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de a grau s de um ponto ( x ,y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz M2x2 dada por pela matriz coluna M2x1 , sendo x a primeira linha e y a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição
do ponto (x, y) após a rotação. Nessa situação, qual a nova posição do ponto (3,- 1) após uma rotação de 150° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal?
Avalie as seguintes afirmações a respeito das estruturas algébricas. I. Se I é um ideal de , então , para algum II. O conjunto das classes de equivalência módulo , para n primo, munido das operações usuais de adição e multiplicação, é um corpo. III. O conjunto dos números complexos com parte real nula, munido da operação usual de adição, forma um grupo abeliano. IV. O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais, munido das operações usuais de adição e multiplicação, é um anel não comutativo com unidade. É correto o que se afirma em
A integração de funções é um dos principais tópicos da Análise essencialmente teórica, enquanto as equações diferenciais possuem diversas aplicações dentro e fora da Matemática. Em ambos os casos, o estudo das sequências e séries de funções com relação a convergência, derivação e integração termo a termo, ocupa um papel essencial. Diante disso, analise as afirmações a seguir. É correto o que se afirma em
Um professor de Matemática, após trabalhar pontos notáveis e áreas de triângulos com uma de suas turmas, propõe a seguinte atividade aos alunos: divida um triângulo escaleno , no qual os ângulos internos são inferiores a 90°, em três triângulos de mesma área. Avalie as seguintes propostas de solução feitas pelos estudantes. I. Os triângulos ABH, BCH e CAH, em que H é o ortocentro de ABC, têm a mesma área. II. Os triângulos ABI, BCI e CAI, em que I é o incentro de ABC, têm a mesma área. III. Os triângulos AMC, ANM e ABN em que Me N dividem o lado CB em três partes de mesma medida, têm a mesma área. É correto o que se afirma em
Um dos problemas mais importantes estudados pelo cálculo diferencial e integral diz respeito à maximização e minimização de funções. Um desses problemas está relacionado à função cúbica definida por f(x) = ax 3
Considere que a função I(t) = t In(t) definida para t ? 1, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando In(3) ? 1, 1, o valor do montante acumulado no período 1 ? t ? 3 é igual a
Uma função diferenciável, f, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até x, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0, 0), (x,y) e ( x, 0), em que y = f (x). A equação diferencial que descreve essa situação é
Considerando a elaboração do PPP, avalie as seguintes afirmações. I. O PPP constituí-se em processo participativo de decisões para instaurar uma forma de organização do trabalho pedagógico que desvele os conflitos e as contradições no interior da escola. II. A discussão do PPP exige uma reflexão acerca da concepção de educação e sua relação com a sociedade e a escola, o que implica refletir sobre o homem a ser formado. III. A construção do PPP requer o convencimento dos professores, da equipe escolar e dos funcionários para trabalharem em prol do plano estabelecido pela gestão educacional. É correto o que se afirma em
Ao se trabalhar com funções de variáveis complexas a valores complexos é possível, por meio das equações de Cauchy- Riemann, utilizar algumas propriedades estudadas no cálculo diferencial para funções de duas variáveis reais a valores reais. Para isso, considere um subconjunto aberto, não vazio e conexo do plano complexo uma função definida por , para quaisquer , onde são funções reais de variáveis reais e D é um subconjunto aberto de . A partir dessas informações, avalie as afirmações a seguir. I. Se f é uma função analítica tal que , então f é uma função constante. II. Se f é uma função analítica e a sua conjugada também é analítica, então f é uma função constante. III. Se f é uma função analítica e a função módulo de , é constante, então f também é uma função constante.
A respeito do valor da integral em que n é um inteiro, z é uma variável complexa e , uma curva fechada no plano complexo, avalie as afirmações a seguir. I. É nulo para todo n ? 0 e qualquer curva fechada y, uma vez que é a derivada de . II. É nulo para todo n < 0, n ? -1, e qualquer curva fechada que não passe por ?. III. É nulo, se n = -1 e for a circunferência dada por IV. É igual a 2? i, se n = -1 e for uma curva fechada contida no semi-espaço do plano, Imz > 0, em que ? não pertença a esse semi-espaço. É correto apenas o que se afirma em
Os números perfeitos foram introduzidos na Grécia, antes de Cristo. Um número n é dito perfeito se ele for igual à soma dos seus divisores positivos e próprios, ou seja, dos divisores positivos menores que n. Assim, se 2 k
Um problema muito comum em geometria é o das trajetórias ortogonais, o que equivale a dizer que, dada uma curva de uma família, ela intercepta uma curva da outra família de modo que suas tangentes são perpendiculares entre si, no ponto de interseção. Esse problema pode ser abordado, também, pelo cálculo diferencial e integral e, consequentemente, pelas equações diferenciais ordinárias. Com o auxílio dessas informações, conclui-se que, para c e k números reais não nulos, no plano de coordenadas cartesianas xOy, a família de trajetórias ortogonais à família de hipérboles xy = c é dada por
Os anéis quociente são frequentemente utilizados para se obter extensões de corpos. Se F é um corpo e P é um polinômio irredutível em F[X], então L= F[ X] /< P > é um corpo cujo polinômio minimal sobre F é P. Considerando essas informações, assinale a opção que representa um corpo cujo polinômio mínima! é indicado pelo gerador do ideal.
Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (Pa) e (Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as afirmações a seguir. I. A matriz M é singular. II. O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. III. É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado. IV. O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de M que tenham determinantes não nulos. É correto apenas o que se afirma em
No estudo de funções de variáveis reais, buscam-se informações sobre continuidade, diferenciabilidade, entre outras. Considere uma função de duas variáveis , definida por A respeito dessa função, avalie as afirmações a seguir. I. Ao longo das retas y = cx, o valor da função f é constante. II. A função f é descontínua em (0, 0). III. A função f satisfaz ,quaisquer que sejam , com . É correto o que se afirma em