Considere as integrais complexas A soma I1 + I2 é igual a
37 questões da prova Diversas 2008, com gabarito oficial conferido. As duas primeiras são gratuitas.
Considere as integrais complexas A soma I1 + I2 é igual a
Qual é o resto da divisão de 2 334 por 23?
O cilindro e o catenóide, representados nas figuras I e II, são superfícies regulares de rotação geradas, respectivamente, pelas curvas ? 1(t) = (1, 0, t) e ?2(t) = (cosht, 0, t), com t ? . Considerando essas informações, conclui-se que
A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte equação do segundo grau: Pedro e João resolveram o exercício da seguinte maneira. Pedro e João perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A professora observou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com as deles. Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos.
Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados?
O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano a de interseção.
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações. I - O volume da pirâmide SMNP é igual 1/2. II - A interseção do plano a com o tetraedro é um paralelogramo. III - As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas. É correto o que se afirma em
Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o(a) professor(a) deve observar que
Considere que Q 1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i ? 1, Ii denote o intervalo aberto , cujo comprimento é li . Qual é a soma da série ?
No plano cartesiano xOy, as equações x 2
Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números obtidos somando-se a x um número racional, isto é, Sob essas condições, conclui-se que
Segundo os parâmetros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem contribuir com a construção da cidadania. Refletindo sobre esse tema, avalie as asserções a seguir. Uma forma de o ensino da Matemática contribuir com a formação do cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando o debate entre eles, porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro, características fundamentais de um cidadão crítico e consciente. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
Considere g : uma função com derivada contínua e f a função definida por para todo x , ? . Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem. I A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ? , a < b. II A função f é derivável e sua derivada é a função g. III A função diferença f - g é uma função constante. É correto o que se afirma em
Analisando a função f(x, y) = x 2 (x - 1) + y(2x - y), definida no domínio D = {(x, y) ? ; -1 ? x ? 1, -1 ? y ? 1}, um estudante de cálculo diferencial escreveu o seguinte: A função f tem um ponto de mínimo global em D porque o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
Considere uma função f : que possui segunda derivada em todo ponto e que satisfaz à seguinte propriedade: Um estudante de cálculo diferencial, ao deparar-se com essa situação, escreveu a afirmação seguinte. A segunda derivada f "(2) = 1 porque , qualquer que seja a função g. Com relação ao afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.
Para cada número real k, a equação diferencial y n (x) + 2y'(x) + ky(x) = 0 possui uma única solução yk(x) que satisfaz às condições iniciais yk(0) = 0 e y'k(0) = 1..
Considere o limite e analise as seguintes asserções a respeito desse limite. Para qualquer k ? (0, 1), o valor de Lk é zero porque a equação diferencial dada é não-linear. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003, para participantes que terminaram, respectivamente, a 8.ª série do ensino fundamental e o 3.º ano do ensino médio. Na questão I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, enquanto, na questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a opção A. Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não justifica o erro que os estudantes cometeram ao escolher as suas respostas.
Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte questão: Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = me kx é uma função crescente? Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
No anel dos inteiros módulo 12, R = Z /12Z,
Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma situação-problema, estão sua tradução para a linguagem matemática e a resolução do problema, utilizando-se conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor propôs a seguinte situação-problema para seus alunos: Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta de vidro transparente. A solução desse problema pressupõe encontrar
A figura abaixo mostra alguns segmentos construídos em um geoplano por um estudante, de acordo com a orientação dada pela professora.
Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade, assinale a opção incorreta.
Considere o sistema de equações a seguir. Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em suas aulas, a construção de um avião de papel para explorar alguns conceitos e propriedades da geometria plana. Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dos segmentos de reta indicados na figura abaixo. As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas: ? a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB; ? AC, BD e AB são segmentos congruentes; ? PT e TQ são segmentos congruentes; ? PD e BD são segmentos congruentes. A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte: O triângulo PQD é obtusângulo porque
o triângulo PQT é equilátero. Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.
No plano complexo, a área do triângulo de vértices é
Considere o grupo G das raízes 6-ésimas da unidade, isto é, o grupo formado pelos números complexos z, tais que z 6 = 1. Com relação ao grupo G, assinale a opção correta.
Uma transformação linear T: faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a seguir. Essa transformação T
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo: ? escolha um dos fatores; por exemplo, 47; ? na 1.ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1.ª coluna e o fator escolhido, na 2.ª coluna; ? em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números da linha anterior, até encontrar, na 1.ª coluna, o menor número cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33; ? selecione os números da 1.ª coluna cuja soma seja igual a 33, conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33; ? adicione os números correspondentes da 2.ª coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551; ? tome como resultado da multiplicação o valor 1.551. Com base nessas informações, analise as asserções a seguir. Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
Considere o espaço vetorial V = ( , < , >1) munido do seguinte produto interno: = x1x2 - y1x2 - x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) são vetores de . Considere T : V ? V o operador linear dado por . Com relação ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a opção correta.
No plano , considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de lado unitário. Nesse conjunto, pode-se definir uma métrica d da seguinte maneira: dados dois pontos distintos, A, B ? Q, d(A, B) é definida como o comprimento euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A, B) = 0, se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.
O espaço métrico Q, munido da métrica d,
Um domínio de integridade é um domínio principal quando todo ideal é principal, isto é, pode ser gerado por um único elemento. Com base nesse conceito, avalie as seguintes afirmações. I - O anel Z[x] - de polinômios sobre Z na variável x - é um domínio principal, em que Z é o anel dos inteiros. II - Se K é um corpo, K[x] - o anel de polinômios sobre K na variável x - é um domínio principal.
III - O anel dos inteiros gaussianos Z[i] é um domínio principal. É correto o que se afirma em
Quando uma partícula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ? [a, b], sob a ação de um campo de força em , o trabalho realizado pelo campo ao longo de C é dado por
Se , em que f : é uma função contínua e , então = grad(g(|r|)), em que g é uma primitiva de f. Considerando essas informações, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo ao longo da hélice C dada por r(t) = (cos t, sen t, t), t ? [0, 2?], é
Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das funções reais obtém-se, para |x| < 1, o desenvolvimento em série de potências da seguinte função: O coeficiente de x n na série de potências de ?', a derivada de primeira ordem da função ?, é igual a
Observe a seguinte atividade de construções geométricas. ? Construir um triângulo ABC qualquer. ? Traçar a bissetriz do ângulo e, em seguida, a bissetriz do ângulo . ? Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes. ? Traçar a bissetriz do ângulo . O que você observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à mesma observação? O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de outras similares
Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região triangular PQR desenhada abaixo.
Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x 3 ? 3x 2
As potencialidades pedagógicas da história no ensino de matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos. Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números. A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes. I - Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. II - Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. III - Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. Está correto o que se afirma em
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula: Em qual intervalo essa função é crescente?