35 questões da prova Diversas 2005, com gabarito oficial conferido. As duas primeiras são gratuitas.
Considere um circuito elétrico composto por uma fonte com tensão constante de E volts em série com um resistor de resistência igual a R ohms e uma bobina de indutância de valor L henrys. O comportamento do sistema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: em que i(t) é a corrente do circuito em função do tempo t. Nessas condições, sabendo que i(0) = 0, assinale a opção que melhor esboça o comportamento da corrente i(t).
Na aprendizagem da equação quadrática, a escola básica tende a trabalhar exclusivamente com a fórmula conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara. Entretanto, existem outras formulações desde a antiguidade, quando já se podiam identificar problemas e propostas de soluções para tais tipos de equação. Há mais de 4.000 anos, na Babilônia, adotavam- se procedimentos que hoje equivalem a expressar uma solução de x 2
É comum alunos do ensino médio conhecerem a demonstração do teorema de Pitágoras feita no livro I de Os Elementos de Euclides. Nela, usa-se o fato de que todo triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, está inscrito em um semicírculo. Demonstra-se que as projeções m e n de AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem à relação mn = h 2 , em que h é a altura do triângulo. Por meio das relações de proporcionalidade entre os lados dos triângulos ABD, CAD e CBA, prova-se que a 2
Considere em R 3 uma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto (x, y, z) dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por Nessa situação, partindo-se de um ponto (x0 , y0 , z0 ) da fronteira da bola e caminhando-se em linha reta na direção do ponto (-x0 , -y0 , -z0 ), observa-se que a temperatura
A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada - o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m 3 /s. Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. Considere que o projeto prevê a retirada de x m 3 /s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que Com base nessas informações, assinale a opção correta.
Analise as proposições abaixo a respeito de duas funções analíticas f e g : C ? C. I - Se , para todo número natural n, então f (z) = 0, para todo número complexo z. II - Se g(z) = 0 para todo número complexo z em algum subconjunto de C que possui ponto de acumulação, então g(z) = 0, para todo número complexo z. Nesse caso,
Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem de porcentagens. I - O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motivação de aprendizagem. II - O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual deve ocorrer quando se estudam juros compostos. III - O ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagens. IV - O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números, medidas, geometria e tratamento da informação. Estão certos apenas os itens
Com base no texto acima, assinale a opção correta.
Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição?
A respeito da função f(x) = x 3
O que é correto afirmar a respeito de um operador linear T : R 3 ? R 3 que possua os números 2 e 3 como únicos autovalores?
Considere f : [0, ?) ? R uma função cujo gráfico está representado na figura a seguir Assinale a opção que melhor representa o gráfico da função
Observe as figuras abaixo. Podem ser imagem da figura A por alguma transformação linear T : R 2 ? R 2 apenas as figuras
O mandato do reitor de uma universidade começará no dia 15 de novembro de 2005 e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situação, conclui-se que o último dia do mandato desse reitor será no(a)
Uma função f : R n ? R é chamada homogênea de grau k se f(tx) = t k f (x), para todo número real t e para todo vetor x de R n . Se uma k n função diferenciável f é homogênea de grau k, então é possível mostrar que kf (x) = ?f(x) . x, ? x ? R n . Essa igualdade é chamada identidade de Euler. Sabendo que, em cada ponto da superfície da esfera unitária, o vetor normal unitário exterior é o próprio vetor posição, analise os seguintes passos utilizados na obtenção da integral de superfície . passo I: A integral de superfície pode ser reescrita como . passo II: A integral obtida no passo I é igual a . passo III: Calculando-se essa última integral, obtém-se 4? como resultado. Assinale a opção correta acerca desses procedimentos. plano tangente à superfície da esfera unitária.
Se G é um grupo multiplicativo de ordem n e H é um subgrupo de G, de ordem m, então
Em uma classe da 6.ª série do ensino fundamental, o professor de matemática propôs aos alunos a descoberta de planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte proposta de planificação. Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem fundamento matemático.
As equações x 2
A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, assinale a opção incorreta.
Considere a e b dois números inteiros positivos primos entre si e f : Z ? Z/aZ × Z/bZ x (x1, x2), em que x1 x (mod a) e x2 x (mod b). Com relação a essa função, assinale a opção incorreta.
A figura acima representa, no plano cartesiano xOy, uma conjunto fechado R, limitado por uma curva fechada. A figura é simétrica em relação aos eixos Ox e Oy. Acerca desse conjunto, assinale a opção incorreta.
Considere a pirâmide OABCD de altura OA e cuja base é o paralelogramo ABCD. Considere também o prisma apoiado sobre a base da pirâmide e cujos vértices superiores são os pontos médios das arestas concorrentes no vértice O. Represente por V1 o volume da pirâmide OABCD e por V2 o volume do prisma. A respeito dessa situação, um estudante do ensino médio escreveu o seguinte: A razão independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer porque OAB é um triângulo retângulo. Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
Com o objetivo de chamar a atenção para o desperdício de água, um professor propôs a seguinte tarefa para seus alunos da 6.ª série do ensino fundamental: Sabe-se que, em média, um banho de 15 minutos consome 136 L de água, o consumo de água de uma máquina de lavar roupas é de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando consome 46 L de água por dia. Considerando o número de banhos e o uso da máquina de lavar, compare a quantidade de água consumida por sua família durante uma semana com a quantidade de água que é desperdiçada por 2 torneiras pingando nesse período. Analise e comente os resultados. No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema proposto, assinale a opção incorreta.
Um aluno de 5.ª série, ao fazer a operação 63787 ÷ 3 na resolução de um problema, foi considerado em ?situação de dificuldade", ao apresentar o seguinte registro: A análise do procedimento desse aluno revela que
No espaço R 3 , considere os planos e de equações Um estudante de cálculo, ao deparar-se com essa situação, escreveu o seguinte: Os planos II1 e II2 são paralelos porque o vetor de coordenadas (10, 2, 8) é um vetor não-nulo e normal a ambos os planos. Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
Considere P(x) = (m ? 4)(m 2
As figuras I, II e III ilustram, respectivamente, os gráficos das funções f (x, y) = x 2 ? y 2 , g(x, y) = x 2
Considerando p(x) = x 5
Considere a progressão geométrica 1, ..., e denote por Sn a soma de seus n primeiros termos. Ao se levar em conta que, para x ? 1, conclui-se que o maior número inteiro positivo n para o qual |Sn - 2| > é igual a
Uma das fontes da história da matemática egípcia é o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir. Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte da resolução desse problema.
Problema 2: ?Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área?" A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como: ? remover do diâmetro; o restante é 8; ? multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64; O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a fórmula Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. I - A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono. II - O procedimento, no problema 2, fornece uma aproximação para ?, por excesso, correta até a 2ª casa decimal. III - De acordo com o procedimento, no problema 2, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um quadrado de lado Assinale a opção correta.
Não se pode negar que, embora bastante presentes em problemas envolvendo valores monetários e medidas, os números decimais constituem uma dificuldade no processo da aprendizagem matemática nas escolas. Uma das causas desse problema está na estrutura do currículo da matemática na escola básica. Julgue os itens a seguir, acerca do ensino dos números decimais no currículo da educação básica. I - Os números decimais representam uma expansão do sistema de numeração decimal enquanto base decimal e, por isso, seu conceito e representação no currículo precisam vir articulados à expansão da estrutura do sistema decimal. II - O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do sistema monetário, uma vez que o conhecimento dos decimais no currículo da educação básica é um pré-requisito para a aprendizagem desse conteúdo. III - O currículo de matemática da escola básica deve propor, inicialmente, o ensino das frações com qualquer denominador, para então tratar das frações decimais como um caso específico, introduzindo, então, os números decimais. IV - A ação do aluno em contextos de significado envolvendo valores monetários e medidas é fonte geradora de aprendizagem dos números decimais e, portanto, de ensino na escola, em um processo de resgate dos conhecimentos prévios dos alunos. São reflexões apropriadas para a superação da problemática da baixa aprendizagem dos números decimais na escola apenas as contidas nos itens
Considere o retângulo Q0, ilustrado acima e a partir dele, construa a sequência de quadriláteros Q1 , Q2 , Q3 , ..., de tal modo que, para i ? 1, os vértices de Qi são os pontos médios dos lados de Qi-1 . Representando por a(Qi) a área do quadrilátero Qi , julgue os itens que se seguem. I - A subsequência de quadriláteros Q1 , Q3 , Q5 , ..., correspondente aos índices ímpares, é formada somente por paralelogramos. II - O quadrilátero Q6 é um retângulo. III - Para i ? 1, Assinale a opção correta.
Um grupo de alunos de 7.ª série resolveu ?brincar" de fazer cálculos utilizando uma calculadora não-científica. Em determinado momento, eles realizaram a seguinte seqüência de procedimentos: 1.º tecla ?3" 2.º tecla ??" 3.º tecla ?×" 4.º tecla ? = " Os alunos ficaram surpresos com o número que apareceu no visor: ?2.9999999996" e resolveram questionar o professor sobre o acontecido. Afinal, a resposta não deveria ser 3? Assinale a opção que mais adequadamente descreve um procedimento a ser adotado pelo professor.
A figura acima ilustra parte do gráfico da função ,definida para (x, y) ? R 2 . Sabendo que se a > 0, então , julgue os itens a seguir. I - Os conjuntos Ck = {(x, y) ? R 2 : f(x, y) = k, 0 < k < 1}, que representam curvas de nível da função f, são circunferências de centro na origem. II - III - A função f é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente. IV - Estão certos apenas os itens
Na situação descrita no texto, se a é a área de T e se a' é a área de S, então